proatom.ru - сайт агентства ПРоАтом
Авторские права
  Агентство  ПРоАтом. 27 лет с атомной отраслью!              
Навигация
· Главная
· Все темы сайта
· Каталог поставщиков
· Контакты
· Наш архив
· Обратная связь
· Опросы
· Поиск по сайту
· Продукты и расценки
· Самое популярное
· Ссылки
· Форум
Журнал
Журнал Атомная стратегия
Подписка на электронную версию
Журнал Атомная стратегия
Атомные Блоги





PRo IT
Подписка
Подписку остановить невозможно! Подробнее...
Задать вопрос
Наши партнеры
PRo-движение
АНОНС

Вышла в свет книга Б.И.Нигматулина и В.А.Пивоварова «Реакторы с тяжелым жидкометаллическим теплоносителем. История трагедии и фарса». Подробнее 
PRo Погоду

Сотрудничество
Редакция приглашает региональных представителей журнала «Атомная стратегия»
и сайта proatom.ru.
E-mail: pr@proatom.ru Савичев Владимир.
Время и Судьбы

[15/02/2023]     Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии

разработки программных средств анализа безопасности АЭС. Применение нейронных сетей для решений дифференциальных уравнений

Е.А. Катковский,  кандидат технических наук, E-mail: katkovsky@mail.ru

Введение. Предыдущая часть «Новой стратегии…» обозначила возможную сферу применения ИНС без уточнения конкретных приложений к проблемам разработки собственно программных средств для анализа безопасности АЭС (АБ АЭС).



Как известно, АБ АЭС состоит из двух частей – детерминистический анализ и вероятностный анализ. 

В этой части будут обсуждаться проблемы и решения для детерминистического АБ АЭС (ДАБ).

Детерминистический анализ (Глоссарий МАГАТЭ, 2007): «Анализ, использующий для ключевых параметров единственные численные значения (взятые с вероятностью 1) и приводящий к единственному значению для результата. Например, в ядерной безопасности это подразумевает нацеленность на тип аварии, выбросы и последствия без учета вероятностей различных последовательностей событий. Обычно используется с реалистическими или консервативными значениями на основе инженерного суждения и знания моделируемых явлений».

В существующем виде ДАБ представляет собой специализированный набор ПО и методик для реализации на соответствующей вычислительной технике. Поскольку целью ДАБ является адекватное описание процессов, происходящих на объекте анализа, то для каждого процесса необходимо его математическое описание.

Наиболее сложные процессы, такие как тепломассообмен, нейтронная кинетика, как правило, описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому в специализированный набор ПО и методик ДАБ обязательно входит ПО и методики решения дифференциальных уравнений.

Автор предлагает дополнить существующие методики решения дифференциальных уравнений и предлагает подход с применением ИНС для построения решений дифференциальных уравнений.

Теоретические основы

А.Н. Колмогоровым [1-3] и В.В. Арнольдом [5] в 1957 году была доказана теорема о представимости непрерывных функций нескольких переменных суперпозицией непрерывных функций одной переменной, которая в 1987 году была переложена Хёхт–Нильсеном [4] для нейронных сетей: «Любая функция нескольких переменных может быть представлена двухслойной НС с прямыми полными связями с N нейронами входного слоя, (2N+1) нейронами скрытого слоя с ограниченными  функциями активации (например, сигмоидальными) и М нейронами выходного слоя с неизвестными функциями активации.

Из теоремы Колмогорова–Арнольда–Хёхт–Нильсена (КАХН) следует, что для любой функции многих переменных существует отображающая ее НС фиксированной размерности, при настройке (обучении) которой могут использоваться три степени свободы:

·         - область значений сигмоидальных функций активации нейронов скрытого слоя;

·         - наклон сигмоид нейронов этого слоя;

·         - вид функций активации нейронов выходного слоя.

Про функции активации нейронов второго слоя из теоремы Хёхт-Нильсена известно только то, что они - нелинейные функции общего вида. В одной из работ, продолжающих развитие теории, связанной с рассматриваемой теоремой, доказывается, что функции нейронов второго слоя должны быть монотонно возрастающими. Это утверждение в некоторой степени сужает класс функций, которые могут потребоваться при реализации отображения с помощью двухслойной нейронной сети.

На практике требования теоремы Хёхт-Нильсена к функциям активации удовлетворяют следующим образом. В нейронных сетях как для первого, так и для второго слоя используют сигмоидальные передаточные функции с настраиваемыми параметрами. То есть, в процессе обучения индивидуально для каждого нейрона настраиваются следующие параметры функций активации:

·         максимальное и минимальное значение функции,

·         наклон сигмоидальной функции.

Таким образом в области определения исходной функции многих переменных можно построить (обучить) нейронную сеть, с заданной точностью аппроксимирующую исходную функцию.

Из всего, вышеизложенного вытекает весьма важный вывод о возможности применении нейронных сетей для решения дифференциальных (и не только!) уравнений аналитически, иногда в квадратурах, поскольку само представление нейронной сети является суперпозицией аналитических функций (например сигмоид или гиперболического тангенса).

Вполне очевидно, что сложные, нелинейные исходные функции многих переменных будут представлены достаточно сложной нейронной сетью, аналитическое интегрирование которой нетривиально. И в такой ситуации будет просто незаменим аппарат автоматизации аналитических вычислений, называемых «Система Компьютерной Алгебры»

Система Компьютерной Алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

В настоящее время разработано и развивается более 20 систем СКА, , практически многие из них являются свободно доступными для применения.

Выбор подходящей СКА каждый разработчик ДАБ может сделать после анализа возможностей и удобства применения для своих задач. Автор применяет систему REDUCE (см. REDUCE Computer Algebra System (sourceforge.io)), разрабатываемую и поддерживаемую уже более 30-ти лет и имеющую обширную библиотеку аналитических алгоритмов.

Из платного ПО для СКА можно отметить широко известные, очень развитые и постоянно обновляющиеся системы - MAPLE , MathLab, WOLFRAM MATHEMATICA.

Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Таким образом, аналитическая модель представляет собой систему уравнений, при решении которой получают параметры, необходимые для оценки системы (время ответа, пропускную способность и т.д.).

Каким образом строится процедура решения дифференциальных уравнений (систем ДУ) с использованием метода КАХН?

Пусть дано ДУ вида dY(t)/dt = F[Y(t),t], где Y(t) – искомое решение ДУ, а F[Y(t),t] некая правая часть ДУ, зависящая в общем случае нелинейно от Y(t)  и от t.

Тогда строя и обучая ИНС для правой части в соответствии с методом КАХН можно получить явное выражение этой правой части в виде зависимости только от t!

Само выражение несомненно (для сложной правой части) будет весьма громоздким и не восприимчивым для наглядного анализа. Причем проведение различных алгебраических операций с таким выражением без привлечения СКА будет просто нереальным в виду возможных ошибок в преобразованиях. СКА проведет все необходимые упрощения без ошибок и оптимизирует окончательную форму и размер исходного выражения, затем включит аппарат решения ДУ и получит уже окончательное выражение для Y(t) = f(t) используя встроенные процедуры аналитического интегрирования!

Анализ полученного аналитического решения уже пригоден для АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Аналитические методы моделирования

Общая классификация и характеристика групп аналитических методов

Аналитические методы моделирования представляют собой группы методов, пригодных для отображения реальных объектов в виде упрощенной модели системы, состоящей из элементов и аналитических зависимостей, описывающих связи между ними на основе аналитических представлений. Классификация групп аналитических методов также тесно связана с этапами процесса моделирования экономических систем (рис. 3.1).

Рис. 1. Классификация групп аналитических методов моделирования

В основе аналитических методов моделирования лежат базовые разделы современной математики, такие как математический анализ, математическое программирование, теория оптимальных решений. Аналитические методы моделирования систем связаны, прежде всего, с использованием математических приемов исследования систем для получения строго формализованных решений.

Основные этапы аналитического моделирования систем представлены на рис. 2.

Рис. 2. Последовательность этапов моделирования систем на основе групп аналитических методов

Аналитические методы моделирования применимы, когда свойства описываемого объекта можно отобразить с помощью детерминированных величин или системы математических уравнений, если информация о реальном объекте в заданном интервале времени позволяет полностью формализовать его поведение вне рассматриваемого интервала. Однако, например, для многокритериальных и многокомпонентных сложных экономических систем крайне трудно выявить адекватные аналитические зависимости.

Эти методы эффективны для моделирования систем с целью формализации широкого круга оптимизационных задач управления применительно к конкретной отрасли или сфере. Например, для социально-культурной сферы и медиаиндустрии актуальны оптимизация и распределение имеющихся ресурсов, выбор наилучшей стратегии развития организаций, оценка рисков и т.д.

Применимость выделенных групп аналитических методов для моделирования экономических систем исследована в табл. 1.

Таким образом, группы аналитических методов позволяют получить характеристики системы как функции от параметров ее функционирования. Аналитические модели, например, в виде систем уравнений, при решении которых и получают параметры, служат инструментом, необходимым для оценки надежности этой системы (время ответа, пропускная способность и т.д.).

 

Таблица 1

Оценка на применимость групп аналитических методов моделирования систем

Группа методов

Этапы аналитического моделирования систем

описание математических законов, связывающих объекты системы и записанных в виде систем уравнений

решение уравнений для получения теоретических результатов

сравнение теоретических результатов с данными эксперимента

Математические методы

П

П

П

Статистические методы

П

П

СП

Использование теоретико-множественных методов

СП

СП

СП

Логические методы

СП

СП

СП

Лингвистические и семиотические методы

НП

СП

СП

Графические методы

НП

НП

СП

Примечание: СП — слабо применимы; НП — не применимы; П — применимы.

В табл. 2 дана краткая характеристика групп аналитических методов.

Таблица 2 />

Краткая характеристика групп аналитических методов моделирования систем

Группа методов

Краткая характеристика

Математические методы

Моделирование системы как математической модели с набором только основных свойств, характеризующих поведение моделируемого объекта с учетом влияния воздействий внешней среды. Используются математические схемы общего вида: дифференциальные уравнения, системы массового обслуживания, конечные и вероятностные автоматы для описания широкого класса, например технических систем

Статистические методы

Используются последовательности выборочных значений случайной величины с заданным распределением для моделирования случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0, 1)

Использование теоретико-множественных методов

Теоретико-множественные методы основаны на системном анализе предметной области при моделировании систем. Используется аппарат математической логики для описания сложных систем на специальном языке моделирования

 

Группа методов

Краткая характеристика

Логические методы

Используют бинарное представление о состоянии системы как «1» и «0» для моделирования сложных систем, подчиняющихся законам математической логики

Лингвистические и семиотические методы

Используются для формального соединения понятий в составе информационного контента с применением системы символов, знаков, ситуаций в качестве лингвистических переменных

Графические методы

Используются для наглядного представления системы и отражения направления и взаимодействия входных и выходных его потоков

При моделировании процессов и систем выбор групп аналитических методов зависит от поставленной цели и задач, специфичных для выбранной предметной области, объекта и предмета моделирования согласно рис. 3. На этом рисунке представлена общая схема описания групп аналитических методов моделирования систем.

Рис. 3. Общая схема описания групп аналитических методов моделирования систем

Классификация методов моделирования применительно к этапу исследования математической модели

ММ процесса функционирования системы можно разделить на аналитическое и имитационное.

Аналитическое моделирование. Методы исследования аналитических моделей

Аналитические модели представляют собой отображение взаимосвязей между переменными объекта в виде дифференциальных, алгебраических или любых других систем математических уравнений. Такие модели обычно получают на основе физических законов. Использование аналитических моделей позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, часто без использования ЭВМ.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (интегро-дифференциальных, алгебраических, конечно-разностных и т. д.) или логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

• аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

• численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить численные результаты при конкретных начальных данных;

• качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость).

Наиболее полное исследование процесса функционирования можно получить, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными исследуемой системы, т. е. в результате аналитического решения задачи. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем.

Численный метод позволяет исследовать, по сравнению с аналитическим, более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер.

Необходимость учета стохастических свойств системы, недетерминированность исходной информации, дискретность в отдельных элементах, наличие корреляционных связей между большим числом параметров и переменных, характеризующих процессы в системах. Всё это приводит к построению сложных математических моделей, которые не могут быть применены в инженерной практике при исследовании таких систем аналитическими методами. Это также не позволяет расчленить систему и использовать принцип суперпозиции в отношении влияющих факторов. Пригодные для практических расчетов аналитические соотношения удается получить лишь при упрощающих предположениях, обычно существенно искажающих фактическую картину исследуемого процесса. Указанные обстоятельства приводят к тому, что при исследовании сложных систем наиболее эффективными являются методы имитационного моделирования.

Имитационное моделирование. Достоинства и недостатки. Критерии целесообразности применения

Под имитационным моделированием обычно понимают такое моделирование, при котором реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Указывая, что данная модель имитационная, мы обычно подчеркиваем, что, в отличие от других типов абстрактных моделей, в этой модели сохранены и легко узнаваемы такие черты моделируемого объекта, как структура, связи между компонентами, способ передачи информации. С имитационными моделями также обычно связывают и требование иллюстрации их поведения с помощью принятых в данной прикладной области графических образов.

Основным преимуществом имитационного моделирования, по сравнению с аналитическим, является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно легко учитывать факторы, которые создают трудности при аналитических исследованиях: наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов, случайные воздействия и т. д.

Кроме того, имитационная модель обладает гибкостью варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы, что важно с точки зрения поиска оптимального варианта построения системы. Данная модель позволяет включать в процедуру моделирования результаты натурных испытаний реальной системы или ее частей.

В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе проектирования.

Главным недостатком, проявляющимся при машинной реализации метода имитационного моделирования, является то, что решение, полученное при анализе имитационной модели, всегда носит частный характер, т. к. оно соответствует фиксированным элементам структуры, алгоритмам поведения и значениям параметров системы, конкретным условиям и воздействиям внешней среды. Поэтому для полного анализа характеристик процесса приходится многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные.

Несмотря на то, что имитационное моделирование является мощным инструментом исследования систем, его применение не всегда рационально.

В качестве основных критериев целесообразности применения метода имитационного моделирования, по сравнению с аналитическим подходом, можно указать отсутствие законченной математической постановки задачи, неразработанность методов ее аналитического решения либо их чрезмерная сложность и трудоемкость, слабая подготовка персонала, не позволяющая ими воспользоваться.

Если сравнивать с физическим моделированием, то применение имитационного моделирования целесообразно в том случае, когда иных методов решения задачи просто нет либо требуется существенное «сжатие» по времени.

Для имитационного моделирования тоже разработан аппарат решения ДУ с применением ИНС, методика которого будет представлена в следующей статье из серии «Программно-методический аппарат для Новой стратегии разработки программных средств анализа безопасности АЭС. Применение нейронных сетей для решений дифференциальных уравнений».

В следующих, подобных статьях, я расскажу о конкретных результатах применения описного выше подхода с примерами НС, обученных средствами пакета Neurosolution.

 

Список литературы

1. Колмогоров А.Н. - «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Докл. АН СССР, том 108, с. 2, 1956.

2. Колмогоров А.Н. – «О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения», Докл. АН СССР, том 114, с. 953-956, 1957.

3. Kolmogorov A.N. –“On the Representation of Continuous Functions of Many Variables by Superposition of Continuous Functions of One Variable and Addition”, American Math. Soc. Transl., 28 (1963), pp. 55-63.

4. Hecht-Nielsen R. – “Kolmogorov's Mapping Neural Network Existence Theorem”, IEEE First Annual Int. Conf. on Neural Networks, San Diego, 1987, Vol. 3, pp. 11-13.

5. Арнольд В.И.  - Докл. АН СССР, том 114, N 4, 1957.

 

 

 
Связанные ссылки
· Больше про Безопасность и чрезвычайные ситуации
· Новость от Proatom


Самая читаемая статья: Безопасность и чрезвычайные ситуации:
О предупреждении аварий на сложном объекте

Рейтинг статьи
Средняя оценка работы автора: 0
Ответов: 0

Проголосуйте, пожалуйста, за работу автора:

Отлично
Очень хорошо
Хорошо
Нормально
Плохо

опции

 Напечатать текущую страницу Напечатать текущую страницу

"Авторизация" | Создать Акаунт | 7 Комментарии | Поиск в дискуссии
Спасибо за проявленный интерес

Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 16/02/2023
Катковский умница! Отличные идеи генерирует.


[ Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 16/02/2023
Да, про бомбежку Украины было здорово...


[
Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 17/02/2023
Катковский, ты думаешь что что-то изменится после твоих статей?
Да, Путин издал указ про ИИ и НС, но в Росатоме отлично изучили правило -  "Любое дело там проходит 5 стадий" 
1. Шумиха;
2. Неразбериха;
3. Поиск виновных;
4. Наказание невиновных;
5. Награждение непричастных!
Сейчас только первая стадия и если ты закончишь немедленно свои разработки, может быть попадешь (если доживешь)  на 5-ю стадию.


[
Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 17/02/2023
4-ю стадию я уже проходил работая в ВО "Безопасность", когда бывший гендиректор Тихонов на НТС прилюдно осудил занятие ИНСами для применения в задачах экспертизы, как не приносящие дохода конторе.    Наказание последовало быстро.  Двоих сотрудников, один из которых даже прошел курсы Мехмата МГУ по ИНС (за свой счет, поскольку Тихонов не посчитал это повышением квалификации) были уволены "по сокращению штатов".
Потом и на меня начались гонения с применением "иезуитских приемов" типа отстранения от ознакомления с ПООБами и с результатами экспертизы, назначением молодого специалиста. не имевшего профильного образования и опыта работы в отрасли "Руководителем Эксрпертизы Зарубежных проектоа АЭС"  (Я в то время занимал должность "Руководитель Экспертизы").
Летом прошлого года я сам уволился и сосредоточился на собственных разработках по ИНС.
Сейчас я ищу сферы применения своих знаний и опыта и готов примкнуть к коллективам, где ведутся подобные работы.
Без хлеба я точно не останусь, т.к. появился  большой спрос на написание курсовых и дипломных проектов от "бедных студентов" на тему ИИ.  Может быть это и будет для меня "Стадией № 5"?
С уважением к ПроАтому,   Катковский Е.А.


[
Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 25/02/2023
Нейрокомпьютерный интерфейс выходит на финишную прямую
https://news.mail.ru/society/55197263/


[
Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 26/02/2023
Уровень понятен...


[
Ответить на это ]


Re: Часть 2. Программно-методический аппарат для Новой стратегии (Всего: 0)
от Гость на 26/02/2023
E. Katkovsky and "ATHLET BASED TRAINING OF NEURAL NETWORKS FOR THE ANALYSIS OF NUCLEAR POWER PLANT (NPP) SAFETY" are mentioned in a Nuclear Power Plants Safety paper uploaded to Academia, 02.24.2023.


[
Ответить на это ]






Информационное агентство «ПРоАтом», Санкт-Петербург. Тел.:+7(921)9589004
E-mail: info@proatom.ru, Разрешение на перепечатку.
За содержание публикуемых в журнале информационных и рекламных материалов ответственность несут авторы. Редакция предоставляет возможность высказаться по существу, однако имеет свое представление о проблемах, которое не всегда совпадает с мнением авторов Открытие страницы: 0.08 секунды
Рейтинг@Mail.ru