Свой интересный и яркий жизненный путь Ольга Александровна закончила в 2004 году в звании Действительного члена РАН по отделению «математическая физика».  Светлая память Светлому Человеку Ольге Александровне Ладыженской 

 

Первое описание дрейфа льда, как некоторого упорядоченного переноса, принадлежит Ф.Нансе­ну, В 1976 году исполнился полувековой юбилей детерминистического математического представ­ления для описания этого феномена (Свердруп, 1926). Многочисленные работы в этом направле­нии [1,3-6,10-12] были обобщены в диссертаци­онной работе [4]. При различной полноте и спосо­бах математического описания этого явления у них есть нечто общее: представить дрейф льда диффе­ренциальными уравнениями ледяного покрова.

В работе [6] лед интерпретируется вязкой жидкостью, а в работе [4] - вязко-упругой средой. В работе [4] развивается идея Д.Л.Лайхтмана: представить дрейф льда задачей взаимодействия трех погранич­ных слоев - воздуха, льда и воды. Для этой цели в работе [4] предлагается замкнутая система диф­ференциальных уравнений с необходимым набором начальных и краевых условий (для указанных сред), которая формализует взаимодействие пограничных слоев. Образно говоря, вода и воздух доставляют снизу и сверху возмущения для ледяного покрова, а решение дифференциальных уравнений движе­ния и неразрывности ледяного покрова (с учетом этих возмущений) и описывает, по мнению авто­ра, дрейф льда.

Рассмотрим формальное описание динамики ледяного покрова ([4] и др.) в связи с поставленной задачей в самом общем смысле. Итак, лед - конти­нуальная (сплошная) вязкая жидкость или упруго-вязкая среда, представленная дифференциальными уравнениями движения и неразрывности. В отли­чие от автора работы [6], автор работы [4] в уравне­ния движения ледяного покрова вводит тензоры вязко-упругих деформаций и, таким образом, лед пе­рестает быть вязкой жидкостью [6], становясь вязко-упругой средой.

Отметим вначале фундаментальное отличие двух сплошных сред: жидкости (в том числе рео­логической) и твердой в смысле их формального описания дифференциальными уравнениями сплошной среды. Под воздействием внешних (и "внутренних") сил в жидкости может происходить перенос количества движения и массы, т.е. фикси­рованная материальная частица (или элементар­ный объем) может менять свои координаты, при­чем эти силы можно подобрать так, чтобы она оказалась в любой точке пространства, занимае­мого данной (континуальной) средой.

В твердом теле лишь возмущения от внешних сил могут передаться (известными типами волн) в любую точку континуальной среды (при сохране­нии ею упругих свойств и сплошности), а матери­альная частица не меняет (или почти не меняет) координаты состояния покоя после снятия дей­ствия внешних сил. Разумеется, упругие свойства у всех твердых тел различны, однако, неполное знание их у льда не дает основания отнести его к жидкости (пусть даже реологической), поскольку в сплошном ледяном покрове под действием вет­ра и течений не может быть переноса массы, а может быть лишь перенос количества движения.

Действительно, дрейф льда подобен движению жидкости, поскольку ею и ветром вызван, но он не связан в смысле формализации с дифференциаль­ными уравнениями ледяного покрова, т.к. дрейф льда — это перенос массы льда в пространстве с фиксированной системой отсчета (например, бе­рега), а решение дифференциальных уравнений ледяного покрова — это векторные поля движе­ния внутри ледяного покрова и на его границах— перенос количества движения в ледяном покрове. Нетрудно видеть, что эти движения (продольные и поперечные волны) "льда внутри льда" на перенос самого льда — дрейф, который эти уравнения не описывают, — практически не влияют. Конеч­но, мы отдаем себе отчет в том, что реологическая модель движения льда может быть эффективно ис­пользована при описании динамики ледников, од­нако, нетрудно видеть отсутствие общности этих разных явлений.

С этих же общих позиций рассмотрим и дру­гие вопросы, возникающие в связи с работой [4] (предположив при этом, что соображения, изло­женные выше, не являются доказательными или достаточными), на которые целесообразно дать ответы: 1) об использовании уравнений движения и неразрывности для ледяного покрова и интер­претации их решений; 2) о сохранении массы ле­дяного покрова при наличии в бассейне жидких границ и 3) о возможности оценки влияния взаи­модействия между льдинами на дрейф льда в пред­ложенных математических моделях.

Во введении к проблеме автор [4] рассматри­вает ледяной покров как континуальную вязко-упругую среду, т.е. сплошную и полностью покрыва­ющую рассматриваемую область. И это естественно, т.к. используется дифференциальная форма уравнений движения и неразрывности

ледяного покрова. Затем, приближаясь к природе, но оставаясь в рамках дифференциальной фор­мы уравнений, ледяному покрову разрешается быть плотно упакованным и покрывающим все пространство (10 бал, лед), в котором ищется ре­шение задач. Назовем этот прием вторым прибли­жением.

Далее, для усиления приложения предлагаемых моделей дрейфа льда, заимствуя из предыдущих ра­бот понятие сплоченности ледяного покрова, авто­ру удается в общей постановке задачи (дифферен­циальные уравнения для сплошных сред—воды и льда с необходимым набором начальных и краевых условий) получить оценку эффекта взаимодействия льдин на дрейф ледяного покрова. Рассмотрим вто­рое приближение. Понятно, что в этом случае, не­смотря на плотную упаковку, среда является диск­ретной, т.к. составлена из отдельных льдин. Нетрудно видеть, что из одной точки рассматривае­мой области в другую количество движения (про­дольно-поперечные волны в ледяном покрове) не может передаваться непрерывно через зоны разры­ва сплошности, т.е. при этом не происходит гладко-волновой передачи количества движения. Здесь, в случае контакта льдин или при наличии расстояния между льдинами меньше модуля линейного расши­рения льда, волновой тип передачи рвется, и при этом, как хорошо известно, происходит удар (соуда­рение льдин), который вновь порождает (гладкие) волновые колебания в ледяном покрове вплоть до следующего разрыва и т.д. Механизм передачи ко­личества движения в таком ледяном покрове оче­виден, не очевидными при этом, с точки зрения формализации, являются потери энергии и площа­дей сплошности при соударении. Ясно, что универ­сальных дифференциальных форм (законов) таких потерь написать нельзя, поэтому их нужно либо получить из эксперимента (что в данной задаче зат­руднительно), либо, используя уравнения механи­ки сплошной среды, при постановках задач и ин­терпретациях их решений, целесообразно пользоваться действительно сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности" для ледяного покрова, заимствованное автором рабо­ты [4] из работы [10]. Полезно заметить, что по­стулат сплошности среды предшествует классичес­кой процедуре вывода дифференциального уравнения неразрывности, а не доказывается этой процедурой. Тем не менее, в работе [10] авторам удается получить дифференциальный закон нераз­рывности" для ледяного покрова, представленно­го отдельными льдинами. Известно, что соответ­ственно взятый интеграл от уравнения неразрывности превращает (дифференциальный) закон неразрывности массы в (интегральный) закон сохранения массы. Поскольку для получения решения задач, предложенных в работе [4], диф­ференциальные уравнения необходимо проинтег­рировать, то требование сохранения массы ледя­ного покрова является необходимым.

Легко продемонстрировать содержательность этого требования по отношению к дрейфу льда в бассейне, имеющем свободные жидкие границы, на таком примере. Представим бассейн произволь­ной формы, частично покрытый плотно ( или не совсем плотно) льдом.

Часть бассейна, покрытая льдом (если на нее действуют ветер и приливы), представляет точный прообраз объекта, рассматриваемого в работе [4]. Будем теперь действовать ветром в направлении внешней нормали по отношению к жидкой грани­це. Что будет в этой ситуации с сохранением мас­сы для той области, где ищется решение? Для на­блюдателя, стоящего на берегу этого бассейна, сохранения не будет, т.к. лед переместится через жидкую границу в другую часть бассейна, а для решающего задачи, подобные рассматриваемой в работе [4] — с необходимостью будет. Таким об­разом, с помощью не очень сложных рассуждений мы доказали, что требование сохранения массы льда, в подобного рода математических моделях дрейфа льда, противоречит очевидности.

Попробуем ответить на вопрос о возможнос­ти учета эффекта взаимодействия между отдельными льдинами на перенос (дрейф) ледяного по­крова в целом. Для оценки этого феномена автору |работы  [4]  приходится сделать очень содержатель­ное предположение и некоторым образом доказать его. Суть его вкратце сводится к следующему: если длина волны, порожденной возмущением внешних сил, в данной льдине много больше расстояния между соседними льдинами, то оно (возмущение) передается другим льдинам и его можно осреднить  внутри некоторого характерного масштаба, кото­рому дается "убедительное" определение.

Из оце­нок автора работы [4] расстояние между льдина­ми может быть, в частности, более 1 км. Итак, мы имеем, например, две льдины с максимальными линейными размерами 50 км и более и удаленные друг от друга на расстояние 1 км. Хорошо видно, что эта ситуация полностью удовлетворяет исход­ной позиции автора. Каким же образом передает­ся количество движения от одной льдины к дру­гой в случае, если само движение и его передачу, автор предлагает искать из дифференциальных уравнений движения и неразрывности ледяного покрова? С точки зрения наблюдателя — ника­ким, т.к. если он вызовет любые колебания в од­ной из льдин, в другую (через 1 км чистой воды) они не имеют возможности передаться.

В данной работе автор не рассматривает вклад морско­го волнения, которое могло быть вызвано колеба­ниями одной из льдин в динамику системы). По­нятно, что само явление передачи движения в сплошной среде никак не связано с длиной вол­ны, возбужденной в данной среде, а лишь с ее сплошностью (неразрывностью). Здесь, по-види­мому, не совсем удачно используется известная аналогия волновой передачи в неодносвязных областях для сплошных сред.

В заключение можно привести пример, очень наглядно иллюстрирующий противоречивость формальных посылок (способа описания и интер­претации решения) и существа описываемого яв­ления — дрейфа льда. Рассмотрим озеро, покры­тое целиком сплошным ледяным покровом. Пусть сверху на ледяной покров действует ветер, а снизу  - течение воды. В результате решения задачи, из­ложенной в работе [4] (точнее говоря, интерпрета­ции решения, которую дают авторы подобных ма­тематических моделей), мы получим дрейф льда.

Таким образом, можно указать на очевидное несоответствие исходных посылок (гипотез) и следствий (решений и их толкования) при описа­нии дрейфа льда дифференциальными уравнени­ями движения  (типа Навье-Стокса) и неразрывно­сти ледяного покрова: в случае удовлетворения гипотезы континуальности  - лед не может дрей­фовать, а в случае ее отсутствия (отдельные льди­ны) - нет формального (и содержательного) пра­ва использовать дифференциальные уравнения.

Изложенного, по-видимому, достаточно, что­бы сделать некоторые обобщения.

Дифференциальная форма уравнений, исполь­зуемых в работе [4] для ледяного покрова, не опи­сывает перенос льда как целого (дрейф) и не мо­жет его имитировать при решении поставленных в работе [4] задач. Предложенные в работе [4] по­становки задач о динамике ледяного покрова це­лесообразно использовать по их естественному назначению - для исследования прочностных ха­рактеристик сплошного припая. Например, его разрушения при взаимодействии с пограничными слоями воды и воздуха. При этом постановки за­дач не претерпят сколько-нибудь существенных изменений. Возможно, целесообразно лишь уточ­нить вид уравнения неразрывности,

заимствованный автором работы [4], из работы [10]. При усло­вии (теперь уже) сплошного ледяного покрова это уравнение для пограничного слоя лед можно по­лучить стандартной процедурой интегрирования по вертикали дифференциального уравнения не­разрывности льда. Итак, запишем кратко эту про­цедуру, предполагая лед вертикально однородным (по плотности и движению). Будем почленно интегрировать по вертикали классическое уравнение неразрывности для сжимаемой среды: (черту ос­реднения после выполнения процедуры интегри­рования для краткости записи будем опускать)

Собирая все члены уравнений (2) – (5) и учитывая (6), имеем:

Здесь  - плотность льда; u,v,w - "эйлеро­вы" скорости движения в ледяном покрове; h -
толщина льда; - двумерный вектор скорости дви­жений в ледяном покрове; N - сплоченность ледяного покрова. Если над уравнением (9) произвести тождественное преобразование, заменив букву N на   , тогда можно увидеть, что оно будет отли­чаться от (8) множителем h  у локальной производной. Т.е. уравнение (9) содержит ошибку !
Теперь мы имеем возможность предложить еще одну математическую модель дрейфа льда, по существу конструктивного алгоритма, близкую работе [13]. Будем считать, что перенос льда (дрейф) по водной поверхности бассейна опреде­ляется действием следующих факторов: течений (главным образом, тонкого и достаточно однород­ного по вертикали слоя жидкости), ветра над по­верхностью бассейна и приливов (для окраинных морей). Волны сжатия и разрежения в ледяном покрове, как не оказывающие влияния на дрейф (в смысле возможностей формализации),  рассматривать не будем.  Для описания динамики тон­кого слоя жидкости, покрытого произвольным об­разом отдельными льдинами, на поверхность которого действует ветер, а на массу воды  -  при­ливы, будем пользоваться двумерными моделями в случае мелкого водоема (в том числе и шельфовой зоны Арктического бассейна), например [9], и для Северного Ледовитого океана в целом  квази-трехмерными [7] (верхним уровнем). При этом пограничные слои воздух и лед целесообразно представить параметрически в уравнениях движе­ния следующим образом: для частей области "чи­стой" воды коэффициент касательного напряжения трения ветра принимается равным единице (услов­ной), а для частей области, покрытой льдом  от­личным от единицы. Назовем его условно коэффициентом покрытия и обозначим буквой С. Тогда в общепринятых обозначениях эти члены уравне­ния будут выглядеть так:    в двумерных моде­лях и в  квази-трехмерных:

Диф­ференциальные уравнения (для жидкости) с необходимым набором начальных и краевых усло­вий решаются численно. Для вычисления дрейфа льда предлагается эвристический алгоритм, уст­роенный таким образом: 1) на начальный момент времени в квадратах сетки (области решения) за­дается естественное распределение льда, помечен­ного соответственными метками с разбиением на подобласти (боксы); 2) в подобластях, покрытых льдом, на каждом временном шаге считаются сред­ние для каждой льдины, суммируемые по времени составляющие скорости потоков (воды), поделен­ные на соответствующие толщины слоев воды (в каждой точке двумерной области толщина погра­ничного слоя жидкости может быть своя, задан­ная на начальный момент времени исходной мат­рицей); 3) если шаг сетки становится меньше хотя бы одной из составляющих пути (2) - осуществ­ляется плоско-параллельный сдвиг данной подо­бласти (или сразу у нескольких) в заданном направ­лении и 4) соответственно сдвигу переопределяются массивы признаков ледяного покрова. При этом, если одна большая льдина (или массив) догоняет другую, область их взаимодей­ствия может быть специально помечена и, таким образом, качественно имитировать эффект торо­шения.

Заметим, что толщиной пограничного слоя для окраинных морей можно считать их глубину, а для океана, например, глубину слоя скачка (или вер­хнего уровня). Предлагаемый алгоритм не обеспе­чивает "сохранение массы ледяного покрова",  разрешая ему покидать область решения, уходя че­рез жидкие границы области. Он обеспечивает по­лыньи в строгом смысле, что может быть существен­ным в судоходных зонах арктических морей. Структура этого алгоритма очевидным образом ко­пирует сущность природного явления и в этом смыс­ле не содержит (в отличие от работ типа [4]) не раз­решимых противоречий.

Однако, точность расчета дрейфа льда, в рамках предлагаемой модели, естественным образом зависит от модели движения жидкости и точности модулей С,  подлежащих экспериментальному установлению.

По-видимому, для различных возрастных форм льда (в том числе и айсбергов) в случае, когда они находятся в виде отдельных крупных льдин на открытой воде, целесообразно экспериментально установить соответствие между скоростями: дрейфа, подледных течений и течений "чистой" воды. Возможно, удастся оценить инерционность дрейфа льда относительно подледного течения, тогда ее можно будет ввести в предложенный алгоритм. Результаты,  полученные в работе [2], позволяют сделать вывод, что потери на трение о лед кинетической энергии от ветра к воде меняются в широком диапазоне.

Хотя избежать экспериментальных измерений коэффициентов  С  невозможно, предлагаемый алгоритм может позволить свести их к сравнительно небольшому числу, так как по известной ветровой ситуации и траекториям дрейфа (или хотя бы координатам ледяного поля конца рассматриваемого интервала времени) можно с помощью конечного числа проб (численных экспериментов) восстановить неизмеренные С.

В работе [8] предлагается математическая модель дрейфа пятна нефти в море. Она фактически основана на тех же идейных посылках, что и работа [4]. Для описания дрейфа растекшейся нефтяной пленки в предложенном выше алгоритме целесообразно сделать две модификации: 1) слияние пятен, если одно догоняет другое, и 2) разрыв пятна при достижении критического локального градиента скорости воды под пятном. Данная работа была представлена на научном симпозиуме "Физико-технические проблемы морского льда". Ленинград, октябрь 1976 г. На настоящее время предложенный алгоритм дрейфа льда с некоторыми модификациями реализован на ЭВМ "Минск-32"И.Е. Фроловым и находится в стадии испытания.

С помощью данного алгоритма при известных или вероятностных экстремальных ветровых ситуациях (модулях и направлениях ветра, а также продолжительности их действия) можно посчитать дрейф льда в районах Северного морского пути. Достаточный набор таких диагностических расчетов может послужить основой улучшения прогнозов оптимальной проводки судов, при наличии прогнозируемой (хотя бы качественно), экстремальной метеорологической обстановки.

Таким образом, блок-схема алгоритма "дрейф" будет выглядеть так:

 

 

                                            ЛИТЕРАТУРА

 

1. Аппель И. Л., Гудкович З.М., Тейтельбаум КЛ. Результаты испытания численной  схемы  расчета распределения льда в арктических морях зимой. Л., Тр. ДАНИИ, т. 343, 1977.

 2.   Беляков Л.Н. Дрейфовые течения подо льдом в Арктическом бассейне. Океанология, т. XIV, 1974.

 3.   Доронин Ю.П., Хейсин Д. Е. Морской лед. Гидрометеоиздат, Л., 1975.

 4.    Ивченко В.О. Исследование ветрового и прилив­ного дрейфа льда с учетом взаимодействия меж­ду  льдинами 

       диссертация, фонды ААНИИ, 1976.                   

  5.    Каган Б.А. Гидродинамические модели прилив­ных движений в море. Гидрометеоиздат, Л., 1968.

 6.  Лайхтман Д.Л. Нелинейная теория ветрового дрейфа льдов. ФАО, т. IV, №11, 1968.

  7.  Марчук Г.И., Кордзадзе А.А., Скиба Ю.Н.  Рас­чет основных гидрологических полей Черного     

        моря. ФАО, т.41, №4, 1975

  8.   Мамедов Ф. Г., Ширинов М. М.  Ветровой дрейф пятна нефти в море. Материалы I Всесоюзного          симпозиума “Океанографические аспекты охраны вод  от  химических загрязнении”. Таллин, ноябрь 1975.     Океанографическая комиссия АН СССР, М., 1975

  9.   Молчанов В.Н. Гидродинамическая модель цир­куляции в водоеме произвольной формы с произ­вольным          набором загрязняющих источников, име­ющих диффузионный характер - Материалы I Всесоюзного          симпозиума "Океанографические ас­пекты охраны вод от химических загрязнений". Таллин, ноябрь 1975. Океанографическая комис­сия АН СССР, М, 1975, с. 88 – 93.

 10.  Никифоров Е. Г., Тимохов Л. А. Некоторые про­блемы динамики ледяного покрова. Тр. ААНИИ, 

         т.316,1974.

 11.   Фельзенбаум А. И. Теоретические расчеты дрей­фа льда в Центральном Арктическом бассейне. ДАН

        СССР, т.113, №2, 1957

 12.   Швец М. Е.  К гидродинамической теории дрейфа ледяных полей. Метеорология и гидрология, №6,

          1946.                         

  13.  Wolch J. E., Harlow F. H., Shannon J. P., Daly B. J. The MAC method, Los Alamos Scientific Laboratory

        Report, LA-3425, 1965.